Valeurs absolues, equations et fonction

Valeurs absolues, equations et fonction

de may » Mer 25 Fév 2015 23:03

bonsoir a tous et toutes
j ai un exercice de seconde en deux partie,
la premiere me demande de resoudre des equations sans calcul mais geometriquement.
a) |x-2|= |x+1|
b) |4-3x|= |3x+12|

On me demande d abord de placer les points a et b puis ensuite
d interpreter l equation en termes de distance et de donner ses solutions.

donc pour a) abscisses A= 2 et B=-1
pour b) abscisses A= 4 et B= -12

j essaye d interpreter en me disant qu on cherche la distance de x et 2 et x et qu elle est egale a la distance de x a -1 donc c est la moitie. Donc c est x=0;5
pour la b) la moitie se trouve a 3x=-4 donc x=-4/3

Je ne sais pas si c est juste mais je sens que ma methode nest pas precise et mauvaise.
si vous pouvez m aider s il vous plait.



Ensuite la suite du meme exo consiste en une autre methode pour resoudre l equation sans la resoudre directement
et alors la j ai pas trop compris
Soit f(x)= |x-3|+|2x+4|

il faut ecrire f(x), sans la valeur absolue dans les cas suivants:
x≤-2 ; -2≤x≤3 ; x≥3

puis il faut en deduire la resolution de l equation f(x)=10

et la je ne comprends pas du tout, inequations, valeur absolue et fonction .....
je suis partie du fait que x≤0 alors |x|= -x
donc x≤-2
f(x)=-x+ 3-2x-4
=-3x-1

et pour x≥3
f(x)= x-3+2x+4
=3x+1

je sais pas si c est juste ni si la methode est bonne
mais pour
-2≤x≤3 et f=10 je comprends pas

je vous remercie en avance si vous avez lu ce post car j ai fait long long long

j espere que vous arriverez a m aider
may
 
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Valeurs absolues, equations et fonction

de YoupiipuoY » Sam 28 Fév 2015 17:45

Salut,

may a écrit:a) x=0;5
b) 3x=-4 donc x=-4/3


C'est bien ça ! Si on ré-écrit ça proprement, ça donne :

Si on nomme M le point d'abscisse x, |x-2| représente la distance entre M et A, et |x+1| représente la distance entre M et B.

Donc chercher le réel x tel que |x-2|= |x+1| équivaut à chercher le point M sur l'axe (Ox) tel que la distance AM = BM, ce qui équivaut à trouve le point M, milieu du segment [AB].

Pour l'autre partie, le plus simple est de suivre les consignes : il faut donc étudier les 3 cas proposés.

Et l'idée générale à avoir, est de chercher à savoir si l'intérieur des valeurs absolues est positif ou négatif, car on sait que :

Quel que soit le réel a :
|a| = a <==> a >= 0
|a| = - a <==> a <= 0

Je te montre comment ça marche avec le premier cas.

Cas 1 : x ≤ -2

On peut déjà dire que puisque x ≤-2, alors x + 2 ≤ 0, donc 2x + 4 ≤ 0

Donc dans le cas présent ( x ≤ -2 ) , on vient de voir que 2x + 4 est négatif, donc | 2x + 4 | = - ( 2x + 4 ) = -2x - 4

En ce qui concerne |x-3|, puisqu'on est dans le cas où x ≤ -2, alors x - 3 ≤ -2 - 3 , c'est-à-dire x - 3 ≤ -5, ce qui veut dire que x - 3 est négatif (puisqu'inférieur à -5), et si x - 3 est négatif, alors | x - 3 | = - (x - 3) = - x + 3

Donc par définition, et quel que soit x on sait que :
f(x)= |x-3|+|2x+4|

Mais dans le cas présent, si x ≤ -2, alors f(x) peut se simplifier en f(x) = - x + 3 - 2x - 4

D'où : si x ≤ -2, alors f(x) peut se simplifier ainsi : f(x) = -3x -1

Et voilà, la fonction f est beaucoup plus simple dans le cas x ≤ -2 (et puisqu'elle est plus simple, il sera facile de résoudre l'équation f(x) = 10 ).

Il reste donc à étudier les deux autres cas

Bon courage !
YoupiipuoY
 
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