[Maths, Probabilités] Question de cours

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de soso341 » Jeu 21 Oct 2010 22:16

Bonjour,

Je ne comprends pas cette propriété:

Si A et B sont indépendants: p(A) x p(B) = p(A "et" B)

Ce qui me pose problème c'est le fait que la probabilité que l'évènement A et B se réalise soit le produit de ces 2 évènements et non une addition.

merci de m'aider :|
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[Maths, Probabilités] Question de cours

de Sibyllin » Jeu 21 Oct 2010 22:40

Bonsoir...

héhé, bonne question!

Alors, je peux t'expliquer pourquoi ca ne peut pas être une addition.

la probabilité d'une éventualité est comprise entre 0 et 1, par définition.

Raisonnons par l'absurde:
SI on avait p(A "et" B) = p(A) + p(B), on pourrait trouver des probabilités supérieures à 1!

exemple: si p(A)=0.6 et p(B)=0.5, alors p(A "et" B) = 0.6 + 0.5 = 1.1!

Donc la loi " p(A) + p(B) = p(A "et" B) " ne peut pas être valide!

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de Le Précepteur » Ven 22 Oct 2010 07:49

Bonjour,

Pour démontrer la relation p(A "et" B) = p(A) + p(B), il faut revenir sur quelques propriétés:

Si A est un évènement dont les éventualités sont { a1, a2..., an }, on appelle par définition "probabilité de A" p(A) la somme des probabilité des évènements a1, a2,... an: p(A) = p(a1) + p(a2) + .... + p(an)

Pour B= {b1, b2,... bm }, on a de même: p(B) = p(b1) + p(b2) + ... + p(bm)

Si A et B sont indépendants, alors on peut dire que A "et" B est constitué des évènements a1, a2..., an, et des évènements b1, b2,... bm, c'est-à-dire:
A "et" B = { a1, a2..., an, b1, b2,... bm }
attention: cette égalité n'est vraie que si A et B sont indépendants!

Donc puisque A "et" B = { a1, a2..., an, b1, b2,... bm }, on a, par définition:
p(A "et" B) = p(a1) + p(a2) + .... + p(an) + p(b1) + p(b2) + ... + p(bm)
= ( p(a1) + p(a2) + .... + p(an) ) + ( p(b1) + p(b2) + ... + p(bm) )
= p(A) + p(B)

Et voila!
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[Maths, Probabilités] Question de cours

de soso341 » Ven 22 Oct 2010 19:18

Merci pour cette explication,

J'aurais voulu savoir une dernière chose...je ne comprends pas comment on arrive à la formule de l'arrangement dans les probabilités:

n(n-1)(n-2)....(n-k+1) = (n!) / (n-k)!

Ce qui me pose soucis c'est que je sais pas ce qui y'a dans les points de suspension, alors si quelqu'un pourrait me le dire

Merci
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de Sibyllin » Ven 22 Oct 2010 19:40

Coucou,

soso341 a écrit:n(n-1)(n-2)....(n-k+1) = (n!) / (n-k)!


En fait, dans les "..." il y a la suite des entiers allant de "n-2" à "n-k+1": n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)...(n-k+3)(n-k+2)(n-k+1)

donc si par exemple n = 10 et k = 5, n-k+1 = 6

n(n-1)(n-2)....(n-k+1) = 10 x 9 x 8 x 7 x 6

pour les factoriels:

n! = n x (n-1) x (n-2) x ... x (n-k+2) x (n-k+1) x (n-k) x (n-k-1) x (n-k-2) x ... x 3 x 2 x 1
et
(n-k)! = (n-k) x (n-k-1) x (n-k-2) x... 3 x 2 x 1

Si on divise le premier par le deuxième:
(n!) / (n-k)! = { on simplifie les facteurs qui sont au numérateur et au dénominateur , c'est-à-dire (n-k), (n-k-1), (n-k-2), ... 3, 2 et 1 et il reste:

(n!) / (n-k)! = n x (n-1) x (n-2) x ... x (n-k+2) x (n-k+1)

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de soso341 » Ven 22 Oct 2010 19:49

ah beh encore merci de mavoir aider aussi vite en plus !

bonne soirée
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de Sibyllin » Ven 22 Oct 2010 22:04

Merci, et bon courage... car en fait, les proba, même si ca peut paraître assez "simple", ca peut aussi vite devenir "subtil" je trouve!

Bon courage en tout cas, et bon week-end (et bonnes vacances si tu es en vacances! )

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