Primitive de la fonction: t -> -t/(t²+1)

Primitive de la fonction: t -> -t/(t²+1)

de louloutte » Ven 27 Jan 2012 19:03

J'avais à faire la primitive de -t/t^2 +1


J'ai trouvé -1/2t^2 ln (t^2 +1)

on m'a dit queje me trompais que cela faisait -1/2 ln (t^2 +1) pourquoi ?
louloutte
 
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Primitive de la fonction: t -> -t/(t²+1)

de Le Précepteur » Ven 27 Jan 2012 20:39

Bonsoir,

En gros, ce résultat repose sur le théorème suivant:

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I tel que pour tout x de I, u(x) est non nul.
Alors la fonction f qui à x associe ln | u(x) | est dérivable sur I, et quel que soit x dans l'ensemble I:
f'(x) = u'(x)/u(x)

Donc en gros, si tu trouves quelque chose qui ressemble à u'(x)/u(x), tu pourras dire que ln | u(x) | en est une primitive.

Ta fonction est: f(x) = -x / (x² + 1)

Bon, on voit facilement que -x, c'est "presque" la dérivée de x² + 1...

Donc pour faire apparaitre la vraie dérivée de x-> x² + 1 (la dérivée est bien sûr: x -> 2.x ), il suffit d'écrire f(x) sous la forme:

f(x) = -x / (x² + 1)
= -1/2 . 2x / (x² + 1)
= -1/2 . u'(x) / u(x), avec u(x) = x² + 1

Donc une primitive de f est F: x -> -1/2 . ln | x² + 1 |

Et voila!

PS: et attention, c'est une valeur absolue dans le logarithme, pas des parenthèses!
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