[Arithmétique] PGCD et nombres premiers entre eux

[Arithmétique] PGCD et nombres premiers entre eux

de mister7 » Mer 13 Oct 2010 15:04

Bonjour,
je voudrais de l'aide svp

Voici l'énoncé:

1. On sait que x et y sont des entiers non nuls premiers entre eux.
On pose S = x+y et P = x×y
a) Démontrer que x et S sont premiers entre eux, de même que y et S.
b) En déduire que S et P sont premiers entre eux.
c) Démontrer que S et P sont de parité différente.

2. On sait de plus dans cette question que S×P = 84
a) Déterminer les deviseurs de 84 et les ranger dans l'ordre croissant.
b) Déterminer tous les couples possibles.

3. Déterminer tous les couples (a, b) d'entiers naturels non nuls tel que :
a+b = 84
ab = d³ avec d = PGCD(a, b)

Merci d'avance.
mister7
 
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de Le Précepteur » Mer 13 Oct 2010 15:12

Bonjour mister7,j

Bon, là, typiquement, quasiment tout le problème consiste à "traduire" en équations ce qu'on te dit avec des mots.

Là on te parle de nombres premiers entre eux: que sais-tu sur les nombres premiers entre eux ? En particulier, connais-tu le Théorème de Bezout?
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de mister7 » Mer 13 Oct 2010 15:40

Ah oui, c'est vrai, merci pour la piste.
Je ne comprends pas la question 1. c)
Pour la question 2. je dois chercher les diviseurs dans N ou dans Z ?
Je ne comprends pas non plus la question 3.
Merci
mister7
 
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de Le Précepteur » Mer 13 Oct 2010 16:35

Re!

Alors effectivement, 1a) et 1b) ce sont quelques calculs avec le théorème de Bezout

Pour 1c) , il faut se demander comment on définit la parité:

Un nombre entier a est pair si et seulement si il existe en entier n tel que : a = 2.n
De même, un nombre entier b est impair si et seulement si il existe un entier m tel que : b = 2.m + 1

On sait que x et y sont premiers entre eux, donc:
- soit ils sont tous les deux impairs
- soit l'un est pair, l'autre impair

(car si x et y sont tous les deux pairs, ils sont tous les deux divisibles par 2, et ne sont donc pas premiers entre eux, puisqu'ils ont un diviseur commun différent de 1).

On regarde les deux cas:

Cas 1: si x et y sont tous les deux impairs
alors il existe deux entiers n et m tels que x = 2n + 1 et y = 2m + 1
donc S = x + y = 2n +1 + 2m + 1 = 2 (n + m + 1)
donc S est pair (puisque S = 2.p où p est l'entier égal à n + m + 1)

Par ailleurs, si x et y sont tous les deux impairs, on a :
P = xy= (2n + 1) x (2m+1) = 4nm + 2m + 2n + 1 = 2 (2nm + m + n) + 1
donc P est impair (puisque S = 2.q + 1 où q est l'entier égal à 2nm + m + n)

Donc: si x et y sont tous les deux impairs, S et P sont de parité différente (Respectivement pair et impair).

Cas 2: si x et y sont de parité différente
alors il existe deux entiers n et m tels que x = 2n et y = 2m + 1 (ici, on prend x pair et y impair, mais les calculs sont symétriques dans l'autre cas)

On fait quelques calculs du même type, et on trouve que cette hypothèse conduit à : S et P sont encore une fois de parité différente (S est impair et P est pair).

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de mister7 » Mer 13 Oct 2010 17:14

Je vous remercie
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de 199 » Mar 18 Jan 2011 21:59

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