Nombres complexes aidez moi svp

Nombres complexes aidez moi svp

de patcash » Mer 30 Oct 2013 12:42

Bonjour,

j ai un souci avec un exercice sur les nombres complexes, est ce que quelq'un peut m'aider...

Soit la fonction dans C f(z)= 2-iz
-----
1-z
1) mettre f(z) sous forme algebrique
2) en deduire l'ensemble des pts M daffixe z tels que f(z) soit un réel et representer l'ensemble.
3) Déterminer les pts invariants cad f(z)=z

j ai essayé mais je trouve une forme algebrique compliquée, je pense que je me suis trompée

2-2x-xy+3y+y² + x²+y²-x i X + Y i
------------------- ------------
(1-x)²+y² (1-x)²+y²

et du coup pour le point 2)et 3) j ai des doutes

pour le 2) je pense qu'il faut etudier x²+y²-x =0
mettre sous la forme (y-0)² + (x-1/2)² =1/4

soit un cercle de rayon 1/2 de centre M(0,1/2) mais je suis pas sure.

pour le 3) il faut je crois étudier

2-2x-xy+3y+y²
------------------- = x
(1-x)²+y²

et
x²+y²-x
------------- = y
(1-x)²+y²

mais là je sais pas quoi faire.

merci de m'aider :roll:
patricia
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Nombres complexes aidez moi svp

de YoupiipuoY » Jeu 7 Nov 2013 00:04

patcash a écrit:j ai essayé mais je trouve une forme algebrique compliquée, je pense que je me suis trompée


salut, en effet, pour la forme algébrique, ca semble compliqué ton résultat.

Pour faire simple, tu écris z sous forme algébrique : z = x +i.y, avec x et y réels (x = partie réelle de z = Re(z) ; y = partie imaginaire de z = Im(z) )

d'ou: f(z) = 2 - i.z = 2 - i.(x +i.y) = 2 - i.x - i².y = 2 - i.x + y = ( 2 + y ) + i. (-x) : forme algébrique de f(z), avec:

* Re( f(z) ) = 2 + y
* Im( f(z) ) = -x

POur la question 2) : f(z) est réel <=> Im ( f(z) ) = 0 <=> x = 0 <=> M(x;y) est sur l'axe des ordonnées

Pour 3) :
f(z) = z <=> Re ( f(z) ) = Re (z) et Im ( f(z) ) = Im (z)
<=> 2+y = x et -x = y
<=> y = x - 2 et y = -x (géométriquement, c'est donc l'intersection de 2 drt)
<=> -x = x - 2 et y = -x (je remplace y dans la premiere equation)
<=> x = 1 et y = -1
<=> z = 1 - i

Et voilà
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