Dans un repère orthonormé

Dans un repère orthonormé

de razibou » Dim 5 Mai 2013 09:28

Je n'ai strictement pas compris cet exercice. J'ai vraiment besoin d'une aide s'il vous plaît.


Soit m un réel. Dans un repère orthonormé (O,I,J) on concidère l'ensemble (Dm) des points M(x ; y) tel que:

(3m + 2)x + (1 - 4m)y + 2m - 3 = 0

1) Quelle est la nature de (Dm) pour m = 1/4 ?

2) Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que (Dm) soit une droite oblique.

3) Pour quelle valeur de m, (Dm) est-elle une droite parallèle à la droite d'équation y = 2x + 4 ?

4) Montrer qu'il existe un unique opint G appartenant à (Dm), quelle que soit la valeur de m.
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de YoupiipuoY » Dim 5 Mai 2013 10:42

Salut,

razibou a écrit:(3m + 2)x + (1 - 4m)y + 2m - 3 = 0
1) Quelle est la nature de (Dm) pour m = 1/4 ?

Là, le plus simple, c'est de remplacer m par "1/4" dans l'équation qui définit (Dm), et de voir quelle équation tu obtiens. A vue de nez, tu vas obtenir une équation de droite, genre: ax + by + c = 0, ou qq chose du genre, donc (Dm) sera une droite.

Si jamais a ou b est nul, ca veut dire que c'est une droite particulière ("horizontale" ou "verticale" )

razibou a écrit:2) Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que (Dm) soit une droite oblique.

Une droite "oblique" (c'est à dire une droite qui n'est ni "horizontale" dans ton repère [ y = constante ], ni verticale [ x = constante ] ) va avoir pour équation: y = a.x + b, avec a non nul.

Donc il faut transformer l'équation: (3m + 2)x + (1 - 4m)y + 2m - 3 = 0 pour aboutir à une expression du genre y = a.x + b, puis il faudra dire dans quel cas le coefficient "a" est non nul.

razibou a écrit:3) Pour quelle valeur de m, (Dm) est-elle une droite parallèle à la droite d'équation y = 2x + 4 ?


Là, faut se souvenir que deux droites sont parallèles, si elle ont le même coefficient directeur : graphiquement, le coefficient directeur, c'est la "pente" de la droite sur le graphique! Et mathématiquement, le coefficient directeur, c'est le "a" de l'équation: y = a.x + b

Donc là, il faut écrire (Dm) sour la forme y = a.x + b, puis tu diras que (Dm) est parallèle à la droite d'équation y = 2x + 4 <=> a = 2 , ce qui te donnera une équation en fonction de "m"

Voila, dejà, essaye de faire ça, et on verra pour la dernière question qui est un peu plus compliquée
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de razibou » Dim 5 Mai 2013 12:11

merci beaucoup !

alors j'ai essayer...

1) Pour m=1/4 , la nature (Dm) sera
(3m + 2)x + (1 - 4m)y + 2m - 3 = 0
(3 x 1/4 + 2)x + ( 1- 4 x 1/4)y + 2 x 1/4 - 3 = 0
(3/4 + 2)x + (1 - 4/4)y + 2/4 - 3 = 0
(3/4 + 12/4)x + (4/4 - 4/4 )y + 2/4 - 8/4 = 0
(15/4)x + y - 6/4 = 0

2) (3m+2)x + (1-4m)y + 2m - 3 = 0

y = ax + b
y = (15/4)x + (1-4m)

3) je pense avoir compris cette question avec ton aide, mais du coup je doute de la réponse à la 2e question
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de Le Précepteur » Dim 5 Mai 2013 12:42

Bonjour, et bienvenue!

Pour la question, 1), c'est presque bon: tu as compris le principe, mais trois petites erreurs de calcul (que j'ai mis en rouge):
razibou a écrit:(3/4 + 2)x + (1 - 4/4)y + 2/4 - 3 = 0
(3/4 + 12/4)x + (4/4 - 4/4 )y + 2/4 - 8/4 = 0
(15/4)x + 1 . y - 6/4 = 0


En fait:
* (3/4 + 2)x = (3/4 + 8/4)x = ( 11/4 ) . x
* 2/4 - 3 = 2/4 - 12/4 = -10/4 = -5/2
* 4/4 - 1 = 4/4 - 4/4 = 0 (donc le terme en "y" disparait!)

ce qui donne en fin de compte: (11/4 ) . x + 0.y - 5/2 = 0

ce qu'on peut plus simplement écrire: 11/4 . x = 5/2

ce qui donne: x = 10/11 qui est dont l'équation de la droite (D1/4)


En revanche, pour la deuxième question, ce n'est pas ça, je t'explique:

Les droites (Dm) ont pour équation: (3m + 2)x + (1 - 4m)y + 2m - 3 = 0

C'est à dire que pour chaque valeur du paramètre m, on obtient une équation de droite différente.

Dans la question 1), tu as travaillé sur une de ces droites, la droite pour laquelle m = 1/4, mais ce n'est qu'une seule de cette famille de droite.

Comme l'a dit YoupiipuoY, une droite "oblique", c'est une droite dont le coefficient directeur est non nul (et pour une droite d'équation: y = a.x + b, le coefficent directeur, c'est "a" ).

Donc ici, le problème va être de transformer l'équation de (Dm): (3m + 2)x + (1 - 4m)y + 2m - 3 = 0

en quelque chose qui ressemble à : y = ( ???? ) . x + ( ????? )

Et une fois que tu auras trouvé ça, il suffira de dire que ???? est non nul

Je te laisse réfléchir un peu à tout ça!
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de razibou » Dim 5 Mai 2013 14:02

tout d'abord merci de tes explications. J'ai refais le 1) mais je pense m'être perdue dans tes explications, je te montre donc mon travail grâce à ton aide.

pour la 2), j'ai compris mais je n'y arrive pas.
En fait je sais qu'il faut que je "transforme" (3m+2)x + (1+4m) + 2m - 3 = 0 en y = ax + b seulement je ne sais pas quel technique utilisée
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de Le Précepteur » Dim 5 Mai 2013 15:48

C'est presque ça, jusqu' à l'avant dernière ligne!

On a bien: ( 11/4 ) . x - 10 /4 = 0 (c'est ton avant-avant-dernière ligne, qui est ok )

ce qui est équivalent à: ( 11/4 ) . x = 10 / 4 (On fait passer le " - 10/4" de l'autre côté du signe "=" )

ce qui est équivalent à: 11 . x = 10 (On multiplie des deux côtés par 4 pour simplifier l'écriture)

ce qui est équivalent à: x = 10/11

Pour la question 2) , on a:

(3m+2).x + (1-4m).y + 2m - 3 = 0

<=> (1-4m).y = - (3m+2).x - ( 2m - 3 ) : ici, on garde seulement le terme avec le "y" du côté gauche, et on passe tout le reste de l'autre côté du signe égal, pour commencer a avoir quelque chose qui ressemble un peu a: (???) . y = (????).x + (????)

<=> y = - (3m+2).x/(1-4m) - ( 2m - 3 )/(1-4m) : on divise par (1-4m) pour simplifier et obtenir une expression du type: y = (????).x + (????) ; mais attention, on ne peut diviser par (1-4m) si, et seulement si 1 +4m est différent de zéro
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de razibou » Dim 5 Mai 2013 17:14

oh je m'excuse ce n'est pas (3m+2).x + (1+4m).y + 2m - 3 = 0 mais (3m+2).x + (1-4m).y + 2m - 3 = 0

Je suis perdue, je ne comprend pas c'est totalement brouillon, je pense que c'est faux mais voilà :
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de Le Précepteur » Dim 5 Mai 2013 18:01

Effectivement, je viens de corriger le précédent message pour le signe

Sinon, voila comment ça se passe:

Toutes les droites (Dm) ont pour équation: (3m+2).x + (1-4m).y + 2m - 3 = 0

Donc on va transformer cette équation, et je le fais étape par étape :

(3m+2).x + (1-4m).y + 2m - 3 = 0
<=> (3m+2).x - (3m+2).x + (1-4m).y + 2m - 3 - ( 2m - 3 ) = - (3m+2).x - ( 2m - 3 ) : on ajoute à droite et à gauche les parties en rouge et en vert
<=> (3m+2).x - (3m+2).x + (1-4m).y + 2m - 3 - ( 2m - 3 ) = - (3m+2).x - ( 2m - 3 ) : c'est la même ligne sans les couleurs
<=> (3m+2).x - (3m+2).x + (1-4m).y + 2m - 3 - ( 2m - 3 ) = - (3m+2).x - ( 2m - 3 ) : la même expression, mais je fais apparaitre en rouge et en vert des expressions qui vont s'annuler
<=> 0 + (1-4m).y + 0 = - (3m+2).x - ( 2m - 3 ) : voilà: l'expression est un peu plus simple, avec le "y" d'un côté, et tout le reste de l'autre côté
<=> (1-4m).y += - (3m+2).x - ( 2m - 3 )

Si (1-4m) est non nul (c'est-à-dire si m est différent de 1/4), on peut tout diviser par (1-4m):

(1-4m).y = - (3m+2).x - ( 2m - 3 )
<=> (1-4m).y/(1-4m) = - (3m+2).x/(1-4m) - ( 2m - 3 )/(1-4m) : on divise tout par /(1-4m)
<=> (1-4m).y/(1-4m) = - (3m+2).x/(1-4m) - ( 2m - 3 )/(1-4m) : même expression sans les couleurs
<=> (1-4m)/(1-4m).y = - (3m+2)/(1-4m).x - ( 2m - 3 )/(1-4m)
<=> (1-4m)/(1-4m).y = - (3m+2)/(1-4m).x - ( 2m - 3 )/(1-4m) : je fais apparaitre en rouge une expression qui vaut 1
<=> y = - (3m+2)/(1-4m).x - ( 2m - 3 )/(1-4m)

Donc, si on résume:

(Dm): (3m+2).x + (1-4m).y + 2m - 3 = 0
<=> y = - (3m+2)/(1-4m).x - ( 2m - 3 )/(1-4m) si m est différent de 1/4

Et là, tu reconnais une équation de droite du type: y = a.x + b, avec:
a = - (3m+2)/(1-4m)
et
b = - ( 2m - 3 )/(1-4m)

Donc le coefficient directeur de (Dm) est - (3m+2)/(1-4m)

En fait, là, c’est long, mais c’est parce que j'ai tout détaillé

Après, il suffit de dire que la droite est oblique si son coefficient directeur (la pente de la droite quand tu la traces) est non nulle
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de razibou » Dim 5 Mai 2013 18:41

je te remercie beaucoup pour ton aide !

je vais arrêter de t'embêter même si cet exercice n'est pas terminer

Bonne soirée, au revoir
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